Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．变形为：a_n+1-1=2（a_n-1）．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-1．变形为：a_n+1-1=2（a_n-1）．a₁-1=1．
∴数列{a_n-1}是等比数列，
∴a_n-1=2^n-1，解得a_n=1+2^n-1．
（II）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
可得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．