Question

19．定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lg（-x）|，x＜0}\\{1-（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，若关于x的函数y=3f²（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-2，-$\sqrt{3}$）
• B． （-2，0）
• C． （-3，-$\sqrt{3}$）
• D． （-$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lg（-x）|，x＜0}\\{1-（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\end{array}\right.$的图象，结合图象可知方程3t²+2bt+1=0有2个不同的且在（0，1）上的实数根，从而解得b的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lg（-x）|，x＜0}\\{1-（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，作出它的图象如图所示：

关于x的函数y=3f²（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，
则令t=f（x），则关于t的方程3t²+2bt+1=0在（0，1）上有2个不同的解．
即函数g（t）=3t²+2bt+1在（0，1）上有2个不同零点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{△={4b}^{2}-12＞0}\\{0＜-\frac{b}{3}＜1}\\{f（0）=1＞0}\\{f（1）=3+2b+1＞0}\end{array}\right.$，求得-2＜b＜-$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．