Question

4．在如图所示的圆柱O₁O₂中，等腰梯形ABCD内接于下底面圆O₁，AB∥CD，且AB为圆O₁的直径，EA和FC都是圆柱O₁O₂的母线，M为线段EF的中点．
（1）求证：MO₁∥平面BCF；
（2）已知BC=1，∠ABC=60°，且直线AF与平面ABC所成的角为30°，求平面MAB与平面EAD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点N，连接FN，证明O₁M∥FN即可；
（2）以C为原点，CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C-xyz，求出法向量，利用向量的夹角公式求解．

解答 （1）证明：如图，取BC的中点N，连接FN，O₁N，则O₁N平行且等于MF，
∴O₁NFM是平行四边形，∴O₁M∥FN，
∵MO₁?平面BCF，FN?平面BCF，
∴MO₁∥平面BCF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC=1，∠ABC=60°，∴AC=$\sqrt{3}$，AB=2，
∵等腰梯形ABCD内接于下底面圆O₁，AB∥CD，且AB为圆O₁的直径，∴DC=1
直线AF与平面ABC所成的角为30°，∴∠FAC=30°，在Rt△AFC中，可得FC=1．
如图以C为原点，CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C-xyz，
则A（$\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），E（$\sqrt{3}$，0，1），F（0，0，1），∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
∵BD⊥AD，AE⊥面ABC，∴DB⊥面AED，平面ADE的法向量为$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）；
设面ABM的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{AM}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0，1）$
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+z=0$，取$\overrightarrow{m}=（2，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，

平面MAB与平面EAD所成的角（锐角）的余弦值为|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，

点评 本题考查了空间点、线、面的位置关系，及空间向量的应用，受雇于基础题．