Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，则当$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$取最小值时，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为arccos（-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，可得|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{6}$，⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²≤6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²≤6，求得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$取最小值，再求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
且对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，则|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{6}$，⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²≤6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²≤6，⇒$-\frac{1}{2}≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$取最小值为-$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，cos$θ=-\frac{1}{4}$，
向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为arccos（-$\frac{1}{4}$），
故答案为：arccos（-$\frac{1}{4}$）

点评 本题考查了向量三角不等式的应用，属于难题．