Question

19．已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且$\frac{a-c}{a-b}=\frac{sinA+sinB}{sin（A+B）}$．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b²=a²+c²-ac，结合余弦定理，可求$cosB=\frac{1}{2}，B∈（0，π）$，即可得解B的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC，
∴$\frac{a-c}{a-b}=\frac{{sinA+{sinB}}}{sinC}$，
由正弦定理得$\frac{a-c}{a-b}=\frac{a+b}{c}$，
即b²=a²+c²-ac，
结合余弦定理，有$cosB=\frac{1}{2}，B∈（0，π）$，
∴$B=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$2R=2=\frac{b}{{sin\frac{π}{3}}}$，解得$b=\sqrt{3}$，
∴${b^2}=3={a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{3}≥2ac-ac=ac$（当且仅当a=c时取等），
∴$S=\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．