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    10．下列结论中，正确的有（　　）
    ①不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根；
    ②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为$\frac{π}{6}$；
    ③函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函数；
    ④在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．
    A．①④B．①③C．①②D．②④

    分析 ①，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根；
    ②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$则角C的最大值为$\frac{π}{3}$；
    ③，函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$的定义域不同，不是同一函数；
    ④，设A（-a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2-m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．

    解答 解：对于①，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根，正确；
    对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$，则角C的最大值为$\frac{π}{3}$，故错；
    对于③，函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$的定义域不同，不是同一函数，故错；
    对于④，设A（-a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2-m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（定值），故正确．
    故选：A．

    点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．

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    20．已知$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+6x-8lnx$在[m，m+1]上不单调，则实数m的取值范围是（1，2）∪（3，4）．

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    1．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．
    （1）求证：BF∥平面ADP；
    （2）求二面角B-DF-P的余弦值．

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    18．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．
    （Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；
    （Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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    5．已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足$\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{FN}$，$|{MN}|=\frac{16}{3}$，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（　　）
    A．${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$B．${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$
    C．${（{x-3}）^2}+{（{y-2\sqrt{3}}）^2}=16$D．${（{x-3}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=16$

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    15．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（　　）
    A．$\frac{\sqrt{3}}{3}$B．$\sqrt{3}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\sqrt{2}$

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知函数f（x）=x3-x+2$\sqrt{x}$．
    （Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
    （Ⅱ）令g（x）=$\frac{a{x}^{2}+ax}{f（x）-2\sqrt{x}}$+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：$g（t）-g（s）＞e+2-\frac{1}{e}$．

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    19．已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且$\frac{a-c}{a-b}=\frac{sinA+sinB}{sin（A+B）}$．
    （Ⅰ）求角B的值；
    （Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．

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    20．一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．
    （I）求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率；
    （II）设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．

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