Question

2．已知函数f（x）=x³-x+2$\sqrt{x}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=$\frac{a{x}^{2}+ax}{f（x）-2\sqrt{x}}$+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：$g（t）-g（s）＞e+2-\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x²-（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为  h（x）=x²-（a+2）x+1=0有两个不同的实根x₁，x₂，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．
（Ⅲ）转化已知条件为?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x₂），通过函数的单调性以及最值，推出$g（t）-g（s）≥g（{x_2}）-g（{x_1}）=ln{x_2}+\frac{a}{{{x_2}-1}}-ln{x_1}-\frac{a}{{{x_1}-1}}$=$ln{x_2}^2+{x_2}-\frac{1}{x_2}（{x_2}＞e）$，构造函数$设k（x）=ln{x^2}+x-\frac{1}{x}=2lnx+x-\frac{1}{x}（x＞0）$，利用导数以及单调性求解即可．

解答 （Ⅰ）解：∵f（1）=1³-1+2×1=2．…（1分）
$f'（x）=3{x^2}-1+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$$f'（1）=3×{1^2}-1+\frac{1}{{\sqrt{1}}}=3$…（2分）
∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-2=3（x-1），即3x-y-1=0．       …（3分）
（Ⅱ）解：$g（x）=\frac{{a{x^2}+ax}}{{{x^3}-x}}+lnx=\frac{ax（x+1）}{x（x+1）（x-1）}+lnx=\frac{a}{x-1}+lnx$
定义域为（0，1）∪（1，+∞）∴$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{{{x^2}-2x+1-ax}}{{x{{（x-1）}^2}}}=\frac{{{x^2}-（a+2）x+1}}{{x{{（x-1）}^2}}}$…（4分）
设h（x）=x²-（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，
则  h（x）=x²-（a+2）x+1=0有两个不同的实根x₁，x₂，
∴△=（a+2）²-4＞0∴a＞0或a＜-4①…（5分）
而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x₂＞e，又因为x₁•x₂=1，∴$0＜{x_1}＜\frac{1}{e}＜e＜{x_2}$，
又h（0）=1，
∴$只需h（\frac{1}{e}）＜0，即\frac{1}{e^2}-（a+2）\frac{1}{e}+1＜0∴a＞e+\frac{1}{e}-2②$
联立①②可得：$a＞e+\frac{1}{e}-2$…（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x₂），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
x∈（x₂+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x₂）即?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x₂）…（7分）
又当x∈（0，x₁），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x₁，1），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x₁）即对?s∈（0，1），都有g（s）≤g（x₁）…（8分）
又∵x₁+x₂=2+a，x₁x₂=1，x₁∈（0，$\frac{1}{e}$），x₂∈（e，+∞），
∴$g（t）-g（s）≥g（{x_2}）-g（{x_1}）=ln{x_2}+\frac{a}{{{x_2}-1}}-ln{x_1}-\frac{a}{{{x_1}-1}}$=$ln\frac{x_2}{x_1}+\frac{a}{{{x_2}-1}}-\frac{a}{{{x_1}-1}}$
=$ln{x_2}^2+{x_2}-\frac{1}{x_2}（{x_2}＞e）$…（10分）
$设k（x）=ln{x^2}+x-\frac{1}{x}=2lnx+x-\frac{1}{x}（x＞0）$，
∴$k'（x）=\frac{2}{x}+1+\frac{1}{x^2}＞0$，
∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴$k（x）＞k（e）=2+e-\frac{1}{e}$…（11分）
∴$g（t）-g（s）＞e+2-\frac{1}{e}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．