Question

12．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是$\frac{km}{4}$．

Answer 1

分析 由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域，使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值．

解答 解：由题意，空闲率为 1-$\frac{x}{m}$，
∴y=kx（1-$\frac{x}{m}$），定义域为（0，m），
y=kx（1-$\frac{x}{m}$）=-$\frac{k}{m}（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{km}{4}$，
因为 x∈（0，m），k＞0；
所以当x=$\frac{m}{2}$时，y_max=$\frac{km}{4}$．
故答案为$\frac{km}{4}$．

点评 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．