Question

7．若正项等比数列{a_n}，已知a₁=4且a₅²=16a₂•a₆，则$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$+$\frac{2}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，由题意可得q=4，即可得到数列的通项公式，化简$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法求和即可．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
由a₁=4且a₅²=16a₂•a₆，
∴（4q⁴）²=16（4q）•（4q⁵），
解得q=4，q=-4（舍去），
∴a_n=4ⁿ，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$+$\frac{2}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
设S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（1+$\frac{n}{2}$）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
故答案为：2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

点评 本题考查了等比数列的通项公式和错位相减法求前n项和，属于中档题．