Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2成立．若b_n=log₂a_n，则b₁₀₀₈=（　　）

• A． 2017
• B． 2016
• C． 2015
• D． 2014

Answer 1

分析 根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b_n=2n+1，代值计算即可

解答 解：在a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2中令n=1得a₁=8，
因为对任意正整数n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2成立，所以a_n+1=$\frac{3}{4}$S_n+1+2成立，
两式相减得a_n+1-a_n=$\frac{3}{4}$a_n+1，
所以a_n+1=4a_n，
又a₁≠0，
所以数列{a_n}为等比数列，
所以a_n=8•4^n-1=2²ⁿ⁺¹，
所以b_n=log₂a_n=2n+1，
所以b₁₀₀₈=2017，
故选：A

点评 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项求和，属于中档题．