Question

4．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项的和为S_n，且满足S_n=λa_n-1，若{a_n}为递增数列，则λ的取值范围为λ＜0或λ＞1．

Answer 1

分析 n=1时，a₁=λa₁-1，λ≠1，解得a₁=$\frac{1}{λ-1}$．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$．由于{a_n}为递增数列，对λ分类讨论即可得出．

解答 解：n=1时，a₁=λa₁-1，λ≠1，解得a₁=$\frac{1}{λ-1}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=λa_n-1-（λa_n-1-1），化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$．
∵{a_n}为递增数列，∴λ＞1时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$＞1，恒成立，因此λ＞1．
λ＜1时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$∈（0，1），解得λ＜0．
故答案为：λ＜0或λ＞1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．