Question

15．已知抛物线C：y²=4x的焦点F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，D为线段MF上一点，且|MD|=2|NF|，若|DF|=1，则|MF|=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依题意F（1，0），设直线MN方程为x=my+1．将直线MN的方程与抛物线的方程联立，得y²-4my-4=0．由此能够求出直线的斜率，可得|MF|．

解答 解：依题意F（1，0），设直线MN方程为x=my+1．            
将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0． 
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
x₁x₂=$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=1①
因为|MD|=2|NF|，|DF|=1，
所以 x₁=2x₂+2②
联立①和②，解得x₁=1+$\sqrt{3}$（负的舍去），
|MF|=x₁+1=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的条件，合理地进行等价转化．