Question

6．过点M（2，-2p）引抛物线x²=2py（p＞0）的切线，切点分别为A，B，若$|{AB}|=4\sqrt{10}$，则p的值是（　　）

• A． 1或2
• B． $\sqrt{2}$或2
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出直线MA，MB的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论．

解答 解：由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$，
因此直线MA的方程为y+2p=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-2），整理可得x₁²-4x₁-4p²=0，
同理，直线MB的方程为x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的两根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$=$\frac{2}{p}$．
由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{4}{{p}^{2}}}•\sqrt{16+16{p}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
所以p=1或p=2，
故选A．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生分析推理能力，属于中档题．