Question

16．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}+kn$，其中k为常数，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：${T_n}＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由已知数列的前n项和求得a_n=S_n-S_n-1=2n+k-1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a₁，a₄，a₁₃成等比数列求得k，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的通项公式代入${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$，整理后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，放缩可得${T_n}＜\frac{5}{12}$．

解答 （1）解：由${S_n}={n^2}+kn$，有
a_n=S_n-S_n-1=2n+k-1（n≥2），
又a₁=S₁=k+1，
∴a_n=2n+k-1．
∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，∴${{a}_{4}}^{2}={a}_{1}{a}_{13}$，
即（2×4+k-1）²=（2×1+k-1）（2×13+k-1），解得k=2．
∴a_n=2n-1；
（2）证明：∵${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+6）}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}$．
∴${b}_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+…+$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{5}{12}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}）$$＜\frac{5}{12}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．