Question

11．设函数f（x）=a²lnx+ax（a≠0），g（x）=${∫}_{0}^{x}$2tdt，F（x）=g（x）-f（x）．
（1）试讨论F（x）的单调性；
（2）当a＞0时，-e²≤F（x）≤1-e在x∈[1，e]恒成立，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的单调性，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由题意得：g（x）=${∫}_{0}^{x}$2tdt=x²，
∴F（x）=g（x）-f（x）=x²-a²lnx-ax（x＞0），
F′（x）=2x-$\frac{{a}^{2}}{x}$-a=$\frac{（x-a）（2x+a）}{x}$，
a＞0时，x∈（0，a）时，F（x）＜0，x∈（a，+∞）时，F（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；
a＜0时，x∈（0，-$\frac{a}{2}$）时，F（x）＜0，x∈（-$\frac{a}{2}$，+∞）时，F（x）＞0，
∴函数F（x）在区间（0，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）递增，
综上，a＞0时，函数F（x）在区间（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
a＜0时，函数F（x）在区间（0，-$\frac{a}{2}$）递减，在区间（-$\frac{a}{2}$，+∞）递增；
（2）由题意得F（1）=g（1）-f（1）=1-a≤1-e，即a≥e，
当a＞0时，由（1）得F（x）在[1，e]内递减，
故要使-e²≤F（x）≤1-e在x∈[1，e]恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{F（1）≤1-e}\\{F（e）≥{-e}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a≤1-e}\\{{e}^{2}{-a}^{2}ae≥{-e}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{a≤e}\end{array}\right.$，即a=e．

点评 本题考查了导数公式以及运算，用导数求函数的单调性、导数求最值、求参数范围．