Question

5．已知过抛物线G：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足$\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{FN}$，$|{MN}|=\frac{16}{3}$，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（　　）

• A． ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$
• B． ${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{16}{3}$
• C． ${（{x-3}）^2}+{（{y-2\sqrt{3}}）^2}=16$
• D． ${（{x-3}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=16$

Answer 1

分析 求出直线l的斜率，可得直线方程，与抛物线方程联立，利用|MN|，求出p，可得M的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．

解答 解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．
解三角形EMN，得∠EMF=$\frac{π}{3}$，所以直线l的斜率为$\sqrt{3}$，
其方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
与抛物线方程联立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∴|MN|=$\frac{8}{3}$p=$\frac{16}{3}$，
∴p=2，
∴M（3，2$\sqrt{3}$），r=4，
∴圆的标准方程为（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．
故选：C．

点评 本题主要考查抛物线定义以及抛物线的性质，以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题．