Question

1．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．
（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B-DF-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD中点G，连结GF，AG，推导出四边形ABFG是平行四边形，从而AG∥BF，进而能证明BF∥平面ADP．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DF-P的余弦值．

解答 证明：（1）取PD中点G，连结GF，AG，
∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点，
∴FG$\underset{∥}{=}$AB，∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG∥BF，
∵AG?平面ADP，BF?平面ADP，∴BF∥平面ADP．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PE=1，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设平面PDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
设二面角B-DF-P的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-DF-P的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．