Question

7．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E为PD的中点．
（1）求证：BD⊥面PAC；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，
∴AC⊥BD，PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥面PAC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E为PD的中点，
∴A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），E（0，2，2），C（4，4，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=4x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角E-AC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-AC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．