Question

20．已知$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+6x-8lnx$在[m，m+1]上不单调，则实数m的取值范围是（1，2）∪（3，4）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，单调关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=-$\frac{（x-2）（x-4）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：2＜x＜4，
令f′（x）＜0，解得：x＞4或x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，+∞）递减，
若f（x）在[m，m+1]不单调，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{m+1＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m+1＞4}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜2或3＜m＜4，
故答案为：（1，2）∪（3，4）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．