Question

8．已知关于x的方程${log_2}（{x^2}-2x+5）-|{2a-1}|=0$在x∈[0，3]上有解．
（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；
（Ⅱ）若t²-at-3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${log_2}（{x^2}-2x+5）={log_2}[{{{（x-1）}^2}+4}]∈[{2，3}]$，然后推出2≤|2a-1|≤3求解即可．
（Ⅱ）设g（a）=t•a+t²-3，利用恒成立列出不等式组，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时${log_2}（{x^2}-2x+5）={log_2}[{{{（x-1）}^2}+4}]∈[{2，3}]$，
2≤|2a-1|≤3且$a＞0⇒\frac{3}{2}≤a≤2$，
∴$A=\left\{{a|\frac{3}{2}≤a≤2}\right\}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{3}{2}≤a≤2$，
设g（a）=t•a+t²-3，
则$\left\{{\begin{array}{l}{g（\frac{3}{2}）≥0}\\{g（2）≥9}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{t≥\frac{{\sqrt{57}-3}}{4}}\\{t≥1或t≤-3}\end{array}}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{3}{2}）≥0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{t\frac{\sqrt{57}-3}{4}或t≤\frac{-\sqrt{57}-3}{4}}\\{t≤-3或t≥1}\end{array}\right.$．
可得$t≥\frac{\sqrt{57}-3}{4}$或t≤-3．

点评 本题考查函数的零点判定定理的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．