Question

13．已知圆O：x²+y²=1过椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k²=t²-1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OMN的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1，
又∵线段PQ长度的最大值为3，
∴a+1=3，即a=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx-y+t=0，则$\frac{|t|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，得k²=t²-1．①
联立得方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t\\ \frac{y^2}{4}+{x^2}=1\end{array}\right.$，消去y整理得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0．
其中△=（2kt）²-4（k²+4）（t²-4）=-16t²+16k²+64=48＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-2kt}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{t^2}-4}}{{{k^2}+4}}$，
则$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{-16{t^2}+16{k^2}+64}}}{{{k^2}+4}}$．②
将①代入②得$|MN|=\frac{{4\sqrt{3}|t|}}{{{t^2}+3}}$，∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×1×|MN|=\frac{{2\sqrt{3}|t|}}{{{t^2}+3}}$，
而$\frac{{2\sqrt{3}|t|}}{{{t^2}+3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{|t|+\frac{3}{|t|}}}≤1$，等号成立当且仅当$|t|=\frac{3}{|t|}$，即$t=±\sqrt{3}$．
综上可知：（S_△OMN）_max=1．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．