Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2S_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=2S₁+1=2a₁+1，解得a₁．当n≥2时，a_n=2S_n+1，a_n-1=2S_n-1+1，两式相减得a_n-a_n-1=2a_n，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=（2n-1）•{（-1）^n}$，对n分类讨论：当n为偶数时，b_n-1+b_n=2，可得T_n；当n为奇数时，n+1为偶数，T_n=T_n+1-b_n+1．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2S₁+1=2a₁+1，解得a₁=-1．
当n≥2时，a_n=2S_n+1，a_n-1=2S_n-1+1，两式相减得a_n-a_n-1=2a_n，化简得a_n=-a_n-1，
所以数列{a_n}是首项为-1，公比为-1的等比数列，
可得${a_n}={（-1）^n}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=（2n-1）•{（-1）^n}$，
当n为偶数时，b_n-1+b_n=2，${T_n}=\frac{n}{2}×2=n$；
当n为奇数时，n+1为偶数，T_n=T_n+1-b_n+1=（n+1）-（2n+1）=-n．
所以数列{b_n}的前n项和${T_n}={（-1）^n}•n$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．