Question

7．某公司有A，B，C，D，E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为$\frac{1}{2}$，C、D两辆汽车每天出车的概率均为$\frac{2}{3}$，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：

车牌尾号	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9
限行日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五

（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）记事件A“该公司在星期一至少有2辆车出车”，利用独立重复试验的概率的乘法，转化求解即可．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）记事件A“该公司在星期一至少有2辆车出车”，
则$p（A）=1-{（\frac{1}{2}）^3}{（\frac{1}{3}）^2}-C_3^1{（\frac{1}{2}）^3}{（\frac{1}{3}）^2}-C_2^1{（\frac{1}{2}）^3}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）$…（2分）
=$1-\frac{1}{72}-\frac{3}{72}-\frac{4}{72}$（3分）
=$\frac{8}{9}$…（4分）
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
$P（{X=0}）={（{\frac{1}{3}}）^2}•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{1}{72}$；$P（{X=1}）=C_2^1•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•{（{\frac{1}{2}}）^3}$$+{（{\frac{1}{3}}）^2}•C_3^1•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{7}{72}$；$P（{X=2}）={（{\frac{2}{3}}）^2}•{（{\frac{1}{2}}）^3}+C_2^1•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•C_3^1{（{\frac{1}{2}}）^3}$$+{（{\frac{1}{3}}）^2}•C_3^2•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{19}{72}$；
$P（{X=3}）={（{\frac{2}{3}}）^2}•C_3^1•{（{\frac{1}{2}}）^3}$$+C_2^1•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•C_3^2•{（{\frac{1}{2}}）^3}+{（{\frac{1}{3}}）^2}•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{25}{72}$；$P（{X=4}）={（{\frac{2}{3}}）^2}•C_3^2•{（{\frac{1}{2}}）^3}+C_2^1•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{16}{72}$；$P（{X=5}）={（{\frac{2}{3}}）^2}•{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{4}{72}$；…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{72}$	$\frac{7}{72}$	$\frac{19}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{16}{72}$	$\frac{4}{72}$

$E（X）=0×\frac{1}{72}+1×\frac{7}{72}+2×\frac{19}{72}+3×\frac{25}{72}+4×\frac{16}{72}+5×\frac{4}{72}=\frac{17}{6}$…（12分）

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．