Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF₂、BF₂分别交y轴于P、Q两点，若△PQF₂的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意，△ABF₂的周长为24，利用双曲线的定义，可得$\frac{4{b}^{2}}{a}$=24-4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．

解答 解：由题意，△ABF₂的周长为24，
∵|AF₂|+|BF₂|+|AB|=24，
∵|AF₂|+|BF₂|-|AB|=4a，|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{4{b}^{2}}{a}$=24-4a，∴b²=a（6-a），
∴y=a²b²=a³（6-a），∴y′=2a²（9-2a），
0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＜0，
∴a=4.5时，y=a²b²取得最大值，此时ab取得最大值，b=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴c=3$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．