Question

8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是$x=\frac{π}{3}$，$x=-\frac{π}{6}$是y=f（x）的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，f（x）的单调增区间是（　　）

• A． $[{-\frac{7}{3}π+3kπ，-\frac{1}{6}π+3kπ}]，k∈Z$
• B． $[{-\frac{5}{3}π+3kπ，-\frac{1}{6}π+3kπ}]，k∈Z$
• C． $[{-\frac{2}{3}π+2kπ，-\frac{1}{6}π+2kπ}]，k∈Z$
• D． $[{-\frac{1}{3}π+2kπ，-\frac{1}{6}π+2kπ}]，k∈Z$

Answer 1

分析 根据函数f（x）的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，得出f（$\frac{π}{3}$）=0，
再根据直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，得出-$\frac{π}{6}$ω+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），从而求出它的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$ω+φ）-1=0，
∴sin（$\frac{π}{3}$ω+φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$ω+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{π}{3}$ω+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴-$\frac{π}{6}$ω+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
又ω＞0，|φ|＜π，
∴ω的最小值是$\frac{2}{3}$，φ=$\frac{11π}{18}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）-1；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{3}$+3kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+3kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{5π}{3}$+3kπ，-$\frac{π}{6}$+3kπ]，k∈Z．
故选：B．

点评 本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．