Question

18．某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以$\frac{1}{8}$为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足$\frac{1}{2}$，恰好参加两次测试通过的概率为$\frac{9}{32}$．
（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；
（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出该同学第一次测试合格的概率为a，根据题意列方程求出a的值；
（Ⅱ）该同学参加测试的次数ξ的可能取值是1、2、3、4，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可．

解答 解：（Ⅰ）设该同学四次测试合格的概率依次为：
a，a+$\frac{1}{8}$，a+$\frac{1}{4}$，a+$\frac{3}{8}$（a≤$\frac{1}{2}$），
则（1-a）（a+$\frac{1}{8}$）=$\frac{9}{32}$，即a²-$\frac{7}{8}$a+$\frac{5}{32}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=$\frac{5}{8}$（$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$舍去），
所以小李第一次参加测试就合格的概率为$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）因为P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{32}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{4}{8}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{15}{64}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{64}$

所以ξ的数学期望为Eξ=1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{9}{32}$+3×$\frac{15}{64}$+4×$\frac{15}{64}$=$\frac{157}{64}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及相互独立事件同时发生的概率计算问题，是基础题目．