Question

20．对于二次函数y=-4x²+8x-3，
（1）若x∈R
①指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
②求函数的最大值或最小值；
③分析函数的单调性．
（2）若x∈[-1，5），试确定y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①将二次函数配方，结合图象，可得开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
②由顶点处取得最值，可得函数的最大值或最小值；
③结合图象和对称轴，可得单调性；
（2）考虑对称轴与区间的关系，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）①二次函数y=-4x²+8x-3，
即为y=-4（x-1）²+1，
函数图象的开口方向向下、对称轴方程为x=1、顶点坐标（1，1）；
②当x=1时，函数的最大值为1，无最小值；
③函数f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减．
（2）x∈[-1，5），
f（x）在[-1，1）递增，在（1，5）递减，
可得f（1）取得最大值1，又f（-1）=-15，f（5）=-63．
则函数y的取值范围是（-63，1]．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，主要考查函数的最值和在闭区间上的值域，注意运用单调性，考虑对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题．