Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F为C的右焦点，E为C的上顶点，坐标原点O到直线EF的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点$（0，-\frac{2}{3}）$且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F为C的右焦点，E为C的上顶点，坐标原点O到直线EF的距离为$\sqrt{2}$，列出方程组，求出a=2，b=c=$\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设动直线l的方程为：y=kx-$\frac{2}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{2}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-$\frac{8}{3}kx$-$\frac{28}{9}$=0，由此利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件能求出在y轴上不存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
F为C的右焦点，E为C的上顶点，坐标原点O到直线EF的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×a=\frac{1}{2}bc}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设动直线l的方程为：y=kx-$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{2}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-$\frac{8}{3}kx$-$\frac{28}{9}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8k}{3（2{k}^{2}+1）}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{28}{9（2{k}^{2}+1）}$，
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则$\overrightarrow{MA}$=（x₁，y₁-m），$\overrightarrow{MB}$=（x₂，y₂-m），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}-\frac{2}{3}）（k{x}_{2}-\frac{2}{3}）$-m（kx₁-$\frac{2}{3}$+kx₂-$\frac{2}{3}$）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（$\frac{2}{3}$+m）（x₁+x₂）+m²+$\frac{4}{3}m$+$\frac{4}{9}$
=-$\frac{28（{k}^{2}+1）}{9（2{k}^{2}+1）}$-k（$\frac{2}{3}+m$）•$\frac{8k}{3（2{k}^{2}+1）}$+${m}^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}$
=$\frac{（18{m}^{2}-36）{k}^{2}+（9{m}^{2}+12m-24）}{9（2{k}^{2}+1）}$，
由假设得对于任意的k∈R，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{18{m}^{2}-36=0}\\{9{m}^{2}+12m-24=0}\end{array}\right.$，
解得m不存在．
因此，在y轴上不存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用．