Question

8．以抛物线y²=8x的焦点为圆心，以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则当$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值时，双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用以抛物线y²=8x的焦点为圆心，以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，求出a²+b²=4，再利用基本不等式，得出当且仅当a=2b时，$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵以抛物线y²=8x的焦点为圆心，以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b，∴a²+b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+b²）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$b时，$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值，∴c=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．