Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0．则△ABC中最大角的度数是120°．

Answer 1

分析 根据条件可得b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$，c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$，显然c＞b，假设c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$＞a，解得 a＜1或a＞3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．

解答 解：把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0联立可得，b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$，c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$，显然c＞b．
比较c与a的大小．
因为b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$＞0，解得a＞3，（a＜-1的情况很明显为负数舍弃了）
假设c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$＞a，解得 a＜1或a＞3，刚好符合，
所以c＞a，所以最大边为c．
由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
即 （$\frac{{a}^{2}+3}{4}$）²=a²+[$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$]²-2a$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$cosC，
解得cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=120°，
故答案为：120°．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，判断最大边为c，是解题的关键，属于中档题．