Question

6．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S₁，外接圆面积为S₂，当P在M上运动时，求$\frac{S_2}{S_1}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）动点A满足椭圆的定义，由此能求出动点A的轨迹M满足的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），△PBC的内切圆为⊙O₁，半径为r₁；△PBC的外接圆为⊙O₂，半径为r₂，推导出${r_1}=\frac{{|{y_0}|}}{3}$，${O_2}（0，\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）$，从而$\frac{r_2}{r_1}=\frac{{|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|}}{{\frac{{|{y_0}|}}{3}}}=\frac{9}{2y_0^2}+\frac{1}{2}$，由此能求出$\frac{S_2}{S_1}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意知，动点A满足椭圆的定义（1分）
所以，有|F₁F₂|=|BC|=2c=2，|AF₁|+|AF₂|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）
且a²=b²+c²解得$a=2，b=\sqrt{3}$（3分）
所以，动点A的轨迹M满足的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，（y≠0）$（4分）
没有写出y≠0或x≠±2扣（1分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），△PBC的内切圆为⊙O₁，半径为r₁；△PBC的外接圆为⊙O₂，半径为r₂，
∵$\frac{1}{2}（4+2）{r_1}=\frac{1}{2}×2×|{y_0}|$，∴${r_1}=\frac{{|{y_0}|}}{3}$，（6分）
线段PB的垂直平分线方程为$y-\frac{y_0}{2}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}-1}}{2}）$（7分）
又线段BC的垂直平分线方程为x=0，
两条垂线方程联立求得$y=（-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}）（-\frac{{{x_0}-1}}{2}）+\frac{y_0}{2}=\frac{x_0^2-1}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{2}$（8分）
∵$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，∴$y=\frac{3}{2y}-\frac{y_0}{6}$，
∴⊙O₂的圆心为${O_2}（0，\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）$
∴${r_2}=\sqrt{1+{{（\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）}^2}}=\sqrt{\frac{9}{4y_0^2}+\frac{y_0^2}{36}+\frac{1}{2}}=|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|$（9分）
∴$\frac{r_2}{r_1}=\frac{{|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|}}{{\frac{{|{y_0}|}}{3}}}=\frac{9}{2y_0^2}+\frac{1}{2}$，（10分）
∵$y_0^2≤3$，∴$\frac{r_2}{r_1}≥2$，∴$\frac{S_2}{S_1}≥4$
∴${（\frac{S_2}{S_1}）_{min}}=4$，此时$y_0^2=3$．（12分）
方法不一样，只要过程正确，答案准确给满分

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形内切圆与接圆面积之比的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、圆等知识点的合理运用．