Question

16．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是公比大于0的等比数列，且b₁=-2a₁=2，a₃+b₂=-1，S₃+2b₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II））c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，利用“错位相加法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比q大于0，又b₁=-2a₁=2，a₃+b₂=-1，S₃+2b₃=7．
∴a₁=-1，-1+2d+2q=-1，3×（-1）+3d+2×2q²=7，
解得d=-2，q=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3，b_n=2ⁿ．
（II）c_n=$\frac{（-1）^{n-1}{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{-1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$-$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{（-1）^{n-2}（2n-5）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{（-1）^{n-2}（2n-5）}{{2}^{n}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{2}$T_n=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（-1）^n-1×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=-$\frac{5}{9}$+$\frac{2}{9}（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{（-1）^{n-1}（2n-3）}{3×{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相加法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．