Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．进而可得c²=3，a²=4，即得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k₁，k₂和为0，可证得结论．

解答 解：（I）由已知中椭圆C的短轴长为2，可得：b=1，
则过上顶点E（0，1）和右焦点F（0，c）的直线方程为：$\frac{x}{c}+y=1$，
即x+cy-c=0，
由直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．
故圆心M（2，1）到直线的距离d等于半径1，
即$\frac{|2+c-c|}{\sqrt{1+{c}^{2}}}=1$，
解得：c²=3，
则a²=4，
故椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线AB的斜率不为0时，设直线 方程为：x=my+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：（m²+4）y²+2my-3=0，
则y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
设直线TA，TB的斜率分别为k₁，k₂，
若∠OTA=∠OTB，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-t）+{y}_{2}（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=$\frac{{y}_{1}（{my}_{2}+1-t）+{y}_{2}（{my}_{1}+1-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$
=$\frac{{2y}_{1}{y}_{2}m+（{y}_{1}+{y}_{2}）（1-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
即2y₁y₂m+（y₁+y₂）（1-t）=$\frac{-6m}{{m}^{2}+4}$+$\frac{-2m（1-t）}{{m}^{2}+4}$=0，
解得：t=4，
当直线AB的斜率为0时，t=4也满足条件，
综上，在x轴上存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，难度中档．