Question

15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，记△ABC的周长为y，试求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由正弦定理，得b=2sinB，$c=2sin（\frac{2}{3}π-B）$，其中$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，利用三角函数恒等变换的应用化简可求周长$y=\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{2}{3}π-B）=2\sqrt{3}（B+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，由$B∈（0，\frac{2}{3}π）$利用正弦函数的性质即可计算得解．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=bc．
∴由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$及正弦定理，得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
得b=2sinB，$c=2sin（\frac{2}{3}π-B）$，其中$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，
所以周长$y=\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{2}{3}π-B）=2\sqrt{3}（B+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，
由于$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，得$B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
从而周长$y∈（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．