Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S_n=a_n+1（n∈N^*），a₁=1
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂（2a_n），求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式公式得到数列{a_n}从第二项开始，以1为首项，以2为公比的等比数列，即可求出{a_n}的通项公式
（Ⅱ）根据对数的运算性质得到b_n，再根据等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=a_n+1（n∈N^*），
当n=1时，a₁=S₁=a₂=1
∴S_n-1=a_n，
∴a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}从第二项开始，以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-2，n≥2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）当n=1时，b₁=log₂（2a₁）=1，
当n≥2时，b_n=log₂（2a_n）=n-1，
∴T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+a_n+b_n=a₁+b₁+（a₂+a₃+…+a_n）+（b₂+b₃+…+b_n）=2+$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+$\frac{（n-1）（1+n）}{2}$=2^n-1+$\frac{{n}^{2}-1}{2}$+1=2^n-1+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查数列的递推公式和等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，分组求和，属于中档题．