Question

13．设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：对任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3．
（Ⅰ）证明数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前n项的和．

Answer 1

分析 （I）对任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，可得2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n＞0，a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，代入即可证明．
（II）a₁=1，b₁=2，a₂=3．由（I）可得：3²=2b₂，解得：b₂．公差=$\sqrt{{b}_{2}}-\sqrt{{b}_{1}}$．可得$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{2}$×$\frac{n+1}{2}$．b_n代入${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n+1＞0．可得a_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 （I）证明：∵对任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n＞0，
∴a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
∴2b_n=$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
∴$2\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$．
∴数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列．
（II）解：a₁=1，b₁=2，a₂=3．由（I）可得：3²=2b₂，解得：b₂=$\frac{9}{2}$．
∴公差d=$\sqrt{{b}_{2}}-\sqrt{{b}_{1}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$×$\frac{n+1}{2}$．
∴b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．
∴${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1=$\frac{（n+1）^{2}}{2}×\frac{（n+2）^{2}}{2}$，a_n+1＞0．
∴a_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴n≥2时，a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．n∈N^*．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前n项的和=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．