Question

3．在数列{a_n}中，a₂=$\frac{2}{3}$．
（1）若数列{a_n}满足2a_n-a_n+1=0，求a_n；
（2）若a₄=$\frac{4}{7}$，且数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列，求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂=$\frac{2}{3}$，2a_n-a_n+1=0，求出数列{a_n}的首项，并得到数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由已知结合数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列求其公差，进一步得到数列{（2n-1）a_n+1}的通项公式，代入{$\frac{n}{{a}_{n}}$}，再由等差数列的前n项和得答案．

解答 解：（1）由a₂=$\frac{2}{3}$，2a_n-a_n+1=0，得${a}_{1}=\frac{1}{3}$，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$．
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}=\frac{1}{3}•{2}^{n-1}$；
（2）∵a₂=$\frac{2}{3}$，a₄=$\frac{4}{7}$，且数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列，
则数列{（2n-1）a_n+1}的公差为d=$\frac{[（2×4-1）×\frac{4}{7}+1]-[（2×2-1）×\frac{2}{3}+1]}{4-2}$=1．
∴（2n-1）a_n+1=（2×2-1）×$\frac{2}{3}$+1+（n-2）×1=n+1，
∴${a}_{n}=\frac{n}{2n-1}$，
则$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{\frac{n}{2n-1}}=2n-1$．
∴T_n=1+3+5+…+（2n-1）=$\frac{[1+（2n-1）]×n}{2}={n}^{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列通项公式的求法，考查等差数列的通项公式，属中档题．