Question

18．已知$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$，则二项式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式中的常数项是240．

Answer 1

分析 利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．

解答 解：$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，则二项式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$=${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式的通项公式为${T_{r+1}}=C_6^r{2^r}{x^{6-\frac{3}{2}r}}$，
令$6-\frac{3}{2}r=0$，求得r=4，所以二项式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式中的常数项是$C_6^4$×2⁴=240．
故答案为：240．

点评 本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．