Question

7．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S_n+1=λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得当n≥2时，S_n=λS_n-1+1．与原递推式作差可得a_n+1=λa_n，即n≥2时$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=λ$．验证a₂=λa₁，可得数列{a_n}是等比数列．结合已知求得λ值，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=na_n，整理后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）由S_n+1=λS_n+1可知  当n≥2时，S_n=λS_n-1+1．
作差可得a_n+1=λa_n，即n≥2时$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=λ$．
又a₁=1，故a₂=λa₁．
∴数列{a_n}是等比数列．
由于a₃=a₁λ²=4，λ＞0，解得λ=2．
数{a_n}的通项公式为：${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）由${a_n}={2^{n-1}}$，可知${b_n}=n•{2^{n-1}}$．
设数列{b_n}前n项和为T_n，
则${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-2}}+n•{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=1•2+2•{2^2}+…+（n-2）•{2^{n-2}}+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
①-②得：$-{T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-2}}+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴${T_n}=n•{2^n}-{2^n}+1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．