Question

15．已知公差不为零的等差数列{a_n}满足a₆=14，且a₁，a₃，a₇为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，求出公差a₁，d的值，即可得到数列{a_n}的通项公式，再求出公比，即可求出{b_n}的通项公式
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可

解答 解：（Ⅰ）设公差为d，由a₆=14，且a₁，a₃，a₇为等比数列{b_n}的前三项，可得
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a_1}+5d=14\\{（{a_1}+2d）^2}={a_1}•（{a_1}+6d）\end{array}\right.\end{array}$，
解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）•2=2n+2，
∴q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=2，
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
（Ⅱ）c_n=a_n-b_n，
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=a₁-b₁+a₂-b₂+a₃-b₃+a_n-b_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=$\frac{（4+2n+n）}{2}$-$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n²+3n+4-2ⁿ⁺²．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，分组求和，属于中档题．