Question

10．已知函数f（x）=2|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值；
（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）≥（a+b+c）²，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：x≤-1，f（x）=-2x-2-x+2=-3x≥3，
-1＜x＜2，f（x）=2x+2-x+2=x+4∈（3，6），
x≥2，f（x）=2x+2+x-2=3x≥6，
∴m=3；
（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）≥（a+b+c）²，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

点评 本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．