Question

5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x₀，2$\sqrt{2}$）（x₀＞$\frac{p}{2}$）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|MA|，若$\frac{|MA|}{|AF|}$=2，则|AF|等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|MA|，可得|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），利用$\frac{|MA|}{|AF|}$=2，求出x₀，p，即可求出|AF|．

解答 解：由题意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|MA|，
∴|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），
∵$\frac{|MA|}{|AF|}$=2，
∴|MF|=$\frac{3}{2}$|MA|，
∴x₀=p，
∴2p²=8，∴p=2，
∴|AF|=1．
故选B．

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．