Question

20．调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：

种植地编号	A1	A2	A3	A4	A5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）
种植地编号	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；
（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A-B，求X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀，空气湿度指标为2的有A₁，A₃，A₆，A₈，求出这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n，这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数，然后求解概率．
（Ⅱ）随机变量X=A-B的所有可能取值为1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀…（1分）
空气湿度指标为2的有A₁，A₃，A₆，A₈，…（2分）
在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=$C_{10}^2=\frac{10×9}{2}=45$…（3分）
这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数$m=C_6^2+C_4^2=\frac{6×5}{2}+\frac{4×3}{2}=21$…（5分）
∴这两地的空气温度的指标z相同的概率$P=\frac{m}{n}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$…（6分）
（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：

编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
综合指标	4	4	6	1	4	4	3	5	4	3

其中长势等级是一级（ω≥4）有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，共7个，
长势等级不是一级（ω＜4）的有A₄，A₇，A₁₀，共3个，…（7分）
随机变量X=A-B的所有可能取值为1，2，3，4，5，…（8分）
w=4的有A₁，A₂，A₅，A₆，A₉共5块地，w=3的有A₇，A₁₀共2块地，这时有X=4-3=1
所以$P（x=1）=\frac{C_5^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{10}{21}$，…（9分）
同理$P（x=2）=\frac{C_1^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{2}{21}$，$P（x=3）=\frac{C_5^1C_1^1+C_1^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{7}{21}$$P（x=4）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{1}{21}$，$P（x=5）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{1}{21}$…（10分）
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{10}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{7}{21}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{1}{21}$

…（11分）
$EX=1×\frac{10}{21}+2×\frac{2}{21}+3×\frac{7}{21}+4×\frac{1}{21}+5×\frac{1}{21}=\frac{44}{21}$…（12分）

点评 本题考查离散性随机变量的分布列的求法，概率的求法，考查转化思想以及计算能力．