Question

11．已知函数$f（x）=x-\frac{a}{e^x}$．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[0，1]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是R，且f′（x）=1+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}}$，
a=-1时，f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$，
由f′（x）＞0，得x∈（0，+∞），由f′（x）＜0，得x∈（-∞，0），
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}}$，
①若a≥-1，则e^x+a≥0，即f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，
f（x）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）_min=f（0）=-a=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$（舍）；
②若a≤-e，则 e^x+a≤0，即f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_min=f（1）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{e}{2}$（舍）；
③若-e＜a＜-1，当0＜x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，ln（-a））递减，
当ln（-a）＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（ln（-a），1）递增；
∴f（x）_min=f（ln（-a））=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\sqrt{e}$，
综上所述：a=-$\sqrt{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．