Question

19．已知a≥$\frac{4}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ，则曲线f（x）=ax+$\frac{2}{a}$ln（ax-1）在点（2，f（2））处切线的斜率的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求解定积分得到a值，代入函数解析式，求其导函数，取x=2即可得到曲线y=ax²在x=2处切线的斜率，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：a≥$\frac{4}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ=$\frac{4}{3}$•sinθ|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{4}{3}$×（sin$\frac{π}{6}$-sin0）=$\frac{2}{3}$，
可得a-$\frac{1}{2}$≥$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
f（x）=ax+$\frac{2}{a}$ln（ax-1）的导数为f′（x）=a+$\frac{2}{a}$•a•$\frac{1}{ax-1}$=a+$\frac{2}{ax-1}$，
在点（2，f（2））处切线的斜率为k=a+$\frac{2}{2a-1}$=（a-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{a-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{（a-\frac{1}{2}）•\frac{1}{a-\frac{1}{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
当且仅当a=$\frac{3}{2}$时，取得最小值$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了定积分，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查基本不等式的运用，是中档题．