Question

14．已知正六边形ABCDEF的边长为2，沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处，使得$PC=\sqrt{10}$．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCDE；
（2）求二面角B-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，EC，取AE中点O，连结PO，CO，推导出PO⊥AE，CO⊥AE，则∠POC是二面角P-AE-C的二面角，求出PO⊥CO，由此能证明平面PAE⊥平面ABCDE．
（2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，EC，取AE中点O，连结PO，CO，
由已知得PE=PA=2，AE=AC=EC=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=$2\sqrt{3}$，
∴PO⊥AE，CO⊥AE，∴∠POC是二面角P-AE-C的二面角，
∴PO=$\sqrt{4-3}$=1，CO=$\sqrt{12-3}$=3，∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥CO，∴∠POC=90°，∴平面PAE⊥平面ABCDE．
解：（2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，1），C（0，3，0），B（$\sqrt{3}$，2，0），D（-$\sqrt{3}$，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，2，-1$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}，2，-1$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=3y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=3b-c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=-\sqrt{3}a+2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，3），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{29\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{31}•\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{29}{31}$．
∴二面角B-PC-D的平面角的余弦值为$\frac{29}{31}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．