Question

16．设变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-2≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$．若z=a²x+y（a＞0）的最大值为 4．则 a=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值．

解答 解：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z=a²x+y得y=-a²x+z，目标函数z的最大值，即是直线y=-a²x+z在y轴上的最大截距．
由图形可知，当直线y=-a²x+z过点A时，在y轴上的截距取得最大值．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}}\right.$，解得$A（{\frac{7}{4}，\frac{15}{4}}）$，则$\frac{7}{4}{a^2}+\frac{15}{4}=4$，
注意到a＞0，求得$a=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．