Question

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的一动点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值；
（3）当$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$时，二面角E-BD-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，从而四边形ABFD为正方形，推导出PO⊥AO，由此能证明PO⊥平面ABCD．
（2）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
（3）求出平面EBD的法向量和平面ABD的法向量，由二面角E-BD-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，利用向量法能求出实数λ的值．

解答 （本小题共12分）
证明：（1）设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形，
∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵$BD=\sqrt{A{D^2}+A{B^2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴$PO=\sqrt{P{B^2}-B{O^2}}$=$\sqrt{2}$，$AO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，…（3分）
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．…（4分）
解：（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），
C（1，3，0），$P（0，0，\sqrt{2}）$，$E（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
设平面PDC的法向量为$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直线CB与平面PDC所成角θ，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec n\overrightarrow{•PC}=0\\ \vec n\overrightarrow{•PD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\\{x_1}-{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{2}{z_1}\end{array}\right.$，令z₁=1，则平面PDC的一个法向量为$\vec n=（\sqrt{2}，0，1）$，（7分）
又$\overrightarrow{CB}=（-2，-2，0）$令直线CB与平面PDC所成角为θ
则$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{CB}＞}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（8分）
（3）$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$=$（-1，-1，-\sqrt{2}）$$E（-λ，-λ，\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）$…（9分）
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，直线CB与平面PDC所成角θ，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{ED}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\（1+λ）x+（λ-1）y+（\sqrt{2}λ-\sqrt{2}）z=0\end{array}\right.$
令x=1，y=1，$z=\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}$∴$\overrightarrow m=（1，1，\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}）$（11分）
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow p=（x，y，z）$$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow p＞=\frac{{|{\overrightarrow m，\overrightarrow p}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow p}|}}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}}|}}{{\sqrt{2+{{（\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$．…（13分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．