Question

16．在$△ABC中，∠A=\frac{π}{3}，且（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）•\overrightarrow{BC}=0$，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为2．

Answer 1

分析 取边BC的中点为O，把（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0转化为$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，得出$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BC}$，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可．

解答 解：取边BC的中点为O，则$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
又（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴△ABC为等腰三角形，
又∠A=$\frac{π}{3}$，∴△ABC为等边三角形，
以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，
建立平面直角坐标系如图所示；

并设BC=2a（$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$），点M（x，y）；
则A（0，$\sqrt{3}$a），B（-a，0），C（a，0），
又BM=2CM=2，
所以（x+a）²+y²=4
（x-a）²+y²=1，
所以解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{（x+a）}^{2}{+y}^{2}=4}\\{{（x-a）}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=-\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以当$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$时$AM=\sqrt{{{（\frac{3}{4a}）}^2}+{{[\sqrt{3}a-\sqrt{1-{{（\frac{3}{4a}-a）}^2}}]}^2}}$
=$\sqrt{{（\frac{3}{4a}）}^{2}+{3a}^{2}+1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{{a}^{2}{-（\frac{3}{4}{-a}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{{-a}^{4}+{\frac{5}{2}a}^{2}-\frac{9}{16}}}$
=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{1{-{（a}^{2}-\frac{5}{4}）}^{2}}}$，
令a²-$\frac{5}{4}$=cosθ，
则AM=$\sqrt{5+2cosθ-2\sqrt{3}sinθ}$=$\sqrt{5-4sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
所以当θ=$\frac{2π}{3}$ 时（AM）_min=1，
同理当$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=-\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$时，
AM=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{1{-{（a}^{2}-\frac{5}{4}）}^{2}}}$=$\sqrt{5+2cosθ+2\sqrt{3}sinθ}$=$\sqrt{5+4sin（θ+\frac{π}{6}）}$，
所以当θ=$\frac{π}{3}$时（AM）_max=3；
综上可知：AM的取值范围是[1，3]，
AM的最大值与最小值的差是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题．