Question

7．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=a₁x+m与圆x²+（y-1）²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，则数列（$\frac{1}{{S}_{n}}$）的前100项的和为$\frac{200}{101}$．

Answer 1

分析 通过直线y=a₁x+m与直线x+y-d=0垂直可知a₁=1，利用直线x+y-d=0必过圆心可知d=1，求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项的和．

解答 解：依题意，直线x+y-d=0的斜率为-1，
则a₁=1，
又∵直线y=a₁x+m与圆x²+（y-1）²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，
∴直线x+y-d=0必过圆心，
即0+1-d=0，d=1，
∴数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）×1}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项的和为$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）=\frac{200}{101}$，
故答案为：$\frac{200}{101}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．